Question

初三数学题，急用

如图，如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AC交于点P，
（1）I当点E坐标为（3，0）时，试证明CE=EP
（2）如果将上述条件“点E坐标（3，0）时”改为“点E坐标为（t，0）（t＞0）”，结论CE=EP是否仍然成立，请说明理由。
（3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点的坐标，若不存在，说明理由

Answer 1

解：（1）本问有以下两种证法：
证法一：
在线段OC上截取ON=3
∵点E坐标为（3，0）
∴OE = ON = 3 而正方形OABC的边长为5
∴ CN = EA = 2

∵OE = ON ，OE ⊥ ON
∴△NOE 为等腰直角三角形
∴∠ONE = 45°
∴∠CNE = 180° -- ∠ONE
= 180° -- 45°
= 135° ------------------------------ ①

∵AG 是正方形外角平分线
∴∠BAP = 45°
∴∠EAP = 90° + 45° = 135° ----------------------------- ②
由① ② 知：∠CNE = ∠EAP

∵EF⊥CE
∴∠CEF = 90°
∴ ∠PEA + ∠CEO = 90°
而∠ECN + ∠CEO = 90°
∴∠ECN = ∠PEA

在 △ECN 和 △PEA 中，

∠ECN = ∠PEA （已证）
CN = EA（已证）
∠CNE = ∠EAP （已证）

∴△ECN ≌ △PEA （ASA）
∴CE=EP

证法二：
过点P 作 PQ ⊥ x 轴 于点Q。
∵AG 是正方形外角平分线
∴∠PAQ = 45°
∴△PAQ 是等腰直角三角形。设AQ = PQ = a

∵EF⊥CE
∴∠CEF = 90°
∴ ∠PEQ + ∠CEO = 90°
而∠ECO + ∠CEO = 90°
∴∠ECO = ∠PEQ

在 Rt△ECO 和 Rt△PEQ 中，

∠ECO = ∠PEQ（已证）
∠EOC = ∠PQE = 90°

∴Rt△ECO ∽ Rt△PEQ
∴OE ：QP = CO ：EQ
∴ 3 ：a = 5 ：（2 + a）
∴ 3 ×（2 + a）= 5a
∴6 + 3a = 5a
∴ a = 3
则 PQ = 3，
EQ = EA + AQ = 2+3 = 5

∴PQ = EO = 3 且 EQ = CO = 5

在 Rt△PQE 和 Rt△EOC 中
PQ = EO
∠Q = ∠O
EQ = CO
∴Rt△PQE 和 Rt△EOC （SAS）
∴PE = EC

（2）将上述条件“点E坐标（3，0）时”
改为“点E坐标为（t，0）（t＞0）”
结论CE=EP是否仍然成立，理由如下：
仿照（1）问 的证法一，截取、证全等即可。

本问延伸：题干中说“E是OA边上的点”
事实上，当点E “跑到”OA的延长线上时，
结论CE=EP是否仍然成立。

（3）在y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形
此时点M的坐标为：（5 -- t ， 0）。理由如下：

过点B作PE的平行线，交 y 轴于点M。

∵BM ‖ PE， PE ⊥ CE
∴BM ⊥ CE
∴∠CBM + ∠ECB = 90°
而∠OCE + ∠ECB = 90°
∴∠CBM = ∠OCE

在 Rt△CBM 和 Rt△OCE 中

∠CBM = ∠OCE（已证）
CB = OC （均为正方形的边）
∠MCB = ∠EOC = 90°（均为正方形的角）

∴Rt△CBM ≌ Rt△OCE （ASA）
∴BM = CE
而PE = CE （已证）
∴BM = PE
而BM‖PE （已作）
∴BM 与 PE 平行且相等。
∴四边形BMEP是平行四边形

由Rt△CBM ≌ Rt△OCE 得：
CM = OE = t
∴OM = OC -- CM
= 5 -- t
∴ 此时点M的坐标为：（5 -- t ， 0）。

Answer 2

（1）写出EP的直线方程3x－5y＝9,角平分线的方程x－y＝5,求出p（8，3），算出EP
（2）也写方程。
（3）使BM＝EP,BM平行EP。