Question

已知a是锐角，求证sin a<a<tan a

Answer 1

做半径为R的圆
在圆上做半径OA、OB，使∠AOB=α，并且0＜α＜π/2
做AC垂直OB 于C，连接AB
做BD⊥OB，交OA的延长线于D
∵AC⊥OB，BD⊥OB
∴△OAC，△BAC，△ODB都是直角三角形
根据三角函数的定义得：
sinα=AC/OA=AC/R，AC=Rsinα
tanα=BD/OB=BD/R，BD=Rtanα

△OAB的面积S1=1/2*OB*AC=1/2*R*Rsinα=sinα*R^2/2
扇形OAB的面积S2=πR^2*{α/(2π)}=αR^2/2
△ODB的面积S3=1/2*OB*BD=1/2*R*Rtanα=tanα*R^2/2

扇形OAB的面积 = △OAB的面积 + 拱形AB的面积
△ODB的面积 = 扇形OAB的面积 + △OBD 中园外部分ADB的面积
∴S1＜S2＜S3
∴sinα*R^2/2 ＜ αR^2/2 ＜ tanα*R^2/2
∴sinα ＜ α ＜ tanα2