Question

若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△=根号3，则a+b+c/sinA+sinB+sinC

Answer 1

a/sinA=b/sinB=c/sinC=r
a=sinA×r b=sinB×r c=sinC×r
a+b+c/sinA+sinB+sinC =（sinA×r+sinB×r +sinC×r）/sinA+sinB+sinC
=r×（sinA+sinB+sinC ）/sinA+sinB+sinC
=r
过c点做CD垂直AB垂足为D CD=AC×sinA=b×sin60°=1×（根号3）/2=×（根号3）/2
S△=（1/2）× CD×AB=根号3
得AB=4 即c=4
a^2=b^2+c^2-2bcCosA=1+16-2×1×4×（1/2）
=13
a=根号13
S=1/2（a+b+c）×r
1/2（a+b+c）×r=根号3
r=2根号3/（a+b+c）=2根号3/（1+4+根号13）=2根号3/（5+根号13）
所以a+b+c/sinA+sinB+sinC= 2根号3/（5+根号13）=（5根号3-根号39）/6