Question

帮我证一道数学题吧！！！！ 急啊！！

已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于D交BC于E（AD不为直径），连BD和CD，证明：AB×AC+BD×DC=AD²

Answer 1

）∵∠3=∠1，∠adb=∠bde

∴△adb∽△bde

∴。。。

∴bd2=de×da

又∵∠1=∠2

∴bd=dc

∴de×da= bd×  dc

∵AB*AC=AE*AD 

∴AB*AC+BD*CD=AE*AD +de×da=AD×（ae+de）

∴

AB*AC+BD*CD=AD2

Answer 2

证明：角BAD=角DAC=角DBC
所以BD=CD，△BDE相似于△ABD
所以BD/AD=DE/BD
所以AD*DE=BD²=BD*DC
有因为角ADB=角ACE
所以△ADB相似于△ACE
所以AB/AE=AD/AC
所以AD*AE=AB*AC
所以AB*AC+BD*DC=AD*AE+AD*DE
=AD*（AC+DC）=AD²

Answer 3

AD平分∠BAC
∠BAD=∠CAD
又∠ABC=∠ADC
ΔABE∽ΔADC
AB/AD=AE/AC
AB×AC=AD×AE
AB×AC=AD×(AD-DE)
AB×AC=AD²-AD×DE
AB×AC+AD×DE=AD² (1)
AD平分∠BAC
∠BAD=CAD
弧BD=弧CD
∠BAD=∠CBD BD=CD
∠D是公共角
ΔABD∽ΔBED
BD/DE=AD/BD
BD/DE=AD/CD
DE×AD=BD×CD (2)
(2)代入(1)
AB×AC+BD×DC=AD²