Question

一道高数微积分，求高手解答

求sin2xcos2x的积分，用的是设u替代法
但我发现这个方法很诡异，必须按照答案给的来设u设其他的就得不到同样一个答案
(一下使用大写S代替积分那个符号）
1.答案设u=sin2x 则du/2=cos2xdx 原方程S sinxcos2xdx变为S u du/2 得 u^2/4 +C将u换回来就得(sin(2x))^2/4+C
2.我先用三角函数公式把sin2xcos2x变成0.5sin(4x)然后设u=4x 则du/4=dx进行积分原方程S 0.5sin(4x) dx变为S 0.5sin(u) du/4得 -0.5cos(u)/4 + C将U换回去化简最终得 -cos(4x)/8 +C与(sin(2x))^2/4 +C怎么化都化不成一样的，而且如果设x=0可见答案也不一样，所以设u求积分的方法难道有局限性？只能设固定的才能得正解？

跪求高手解答
那答案的方法我也没看出哪错啊

Answer 1

两种解法都是完全正确的，且答案都对，两个答案其实只是相差一个常数而已。
(sin(2x))^2/4+C=[(1-cos4x)/2]/4+C=-cos(4x)/8+1/8+C
1/8+C相当于你答案的C。
与你的答案仅相差一个常数而已，这点无影响。

Answer 2

∫sin2xcons2xdx=∫1/2sin4xdx=1/2*1/4∫sin4xd4x=1/8cos4x+c

Answer 3

∫sin2xcos2xdx=(1/2)∫sin2xd(sin2x)=(1/2)(1/2)(sin2x)^2+C=(sin2x)^2/4+C1
∫sin2xcos2xdx=(1/2)∫sin4xdx=(1/2)(1/4)cos4x+C=(1/4)(cos4x)/2+C2
cos(4x)=2(sin2x)^-1
(sin2x)^2/4+C1=[2(sin2x)^2-1]/8+(C1-1/8)=cos(4x)/8+(C1-1/8)
可见C1-1/8=C2只是常数项的不同,并不矛盾.

Answer 4

你得方法也可以，只是两者的常数C不同，所以才导致结果不同，你得也对