Question

高二导数题 求详解

已知函数f(x)=x+alnx，其中a为常数,且a≤-1 ，若f(x)≤e-1对任意x∈[e,e^2]恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

f(x)'=1+a/x>0 x>1
(令f(x)'=0 x=1)
∴ f(x)在[e,e^2]单增
f(x)min=f(e)=e+a=e-1
f(x)max=f(e^2)=e^2+alne^2=e^2-a*2=e^2-2
(2)f(x)≤e-1对任意x∈[e,e^2]恒成立
f(x)的max小于等于e-1就行了
f(x)'=1+a/x≤0 x≥-a（a≤）
①x≤e
f(x)max=f(e)=e+alne=e+a≤e-1 a≤-1
② e≤x≤e^2
f(x)max={f(e),f(e^2)}=max{e+a,e^2+2a}≤e-1
e+a≤e^2+2a e-e^2 ≤a≤-1
e^2+2a≤e-1 a≤(e-1 -e^2)/2 e-e^2≤ a≤(e-1 -e^2)/2

e+a≥e^2+2a a≤（e-e^2)/2
e+a≤e-1 a≤-1 a≤（e-e^2)/2

③e^2≤x
f(x)max=f(e^2)=e^2+2a≤e-1 a≤(e-1 -e^2)/2