Question

半正定二次型的充要条件:二次型的矩阵A=C′C

Answer 1

证: 充分性.对任意X != 0 (不等于),
有 X'AX = X'(C'C)X = (CX)'(CX) >= 0. (非负性)
所以二次型是半正定的.
必要性. 由二次型是半正定的, 其标准形为 x1^2+x2^2+...+xr^2.
即对应有正交矩阵P满足 P^(-1)AP = diag(1,1,...,1,0,...,0).
所以 A = Pdiag(1,1,...,1,0,...,0)P^(-1)
由P是正交矩阵,所以 P^(-1) = P'(转置).
令 C = diag(1,1,...,1,0,...,0)P', 则
A = Pdiag(1,1,...,1,0,...,0)P^(-1)
= (Pdiag(1,1,...,1,0,...,0))(diag(1,1,...,1,0,...,0)P')
= C'C.
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Answer 2

对任意X != 0 (不等于),
有 X'AX = X'(C'C)X = (CX)'(CX) >= 0. (非负性)
所以二次型是半正定的.

由二次型是半正定的, 其标准形为 x1^2+x2^2+...+xr^2.
即对应有正交矩阵P满足 P^(-1)AP = diag(1,1,...,1,0,...,0).
所以 A = Pdiag(1,1,...,1,0,...,0)P^(-1)