Question

帮我做几道题（要过程，给金币）

①已知双曲线C：x²/a²－y²/b²=1(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是————————
②双曲线x²/9－y²/16=1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则三角形AFB的面积为————————
③已知F₁,F₂为双曲线C：x²/a²－y²/b²=1（a＞0，b＞0）的焦点，过F₂作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF₁F₂=30°，求双曲线的渐近线方程——————

Answer 1

1、半径为b，过程如下：
由C点向渐近线y=bx/a作垂线, 垂足为D, (CD⊥OD),则OD=r
tan<DOC>=b/a===>sin<DOC>=b/√(a²+b²)=b/c
∴OD=OC*sin<DOC>=c*(b/c)=b
∴相切的圆的半径是 b

2、32/15

双曲线右定点a（3,0）
右焦点f（5,0）
双曲线的一条渐近线斜率为4/3，
直线fb的方程为y=4/3*(x-5),
与双曲线方程联立得到b点坐标为-32/15,
所以△afb的面积为：
s=af*yb/2=32/15

3、双曲线的渐近线方程为：y=±√2x
过程如下：
设F1 F2为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>o,b>o)的焦点，
过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点p，且角P F1 F2等于30度，

将x=c代入x²/a²-y²/b²=1--->|y|=b²/a
∠PF1F2=30°--->b²/a=(2c)tan30°--->√3b²=2ac
所以3(b²)²=4a²(a²+b²)
所以3(b²/a²)²-4(b²/a²)-4=0
所以b²/a²-2)(3b²/a²+2)=0
所以b²/a²=2
所以b/a=√2
所以双曲线的渐近线方程为：y=±√2x