Question

在三角形ABC中，a,b,c分别是角A角B角C的对边，且sin2C+根号3cos(A+B)=0.(1)若a=4，c=根号13，求△ABC的面

Answer 1

sin2C+根号3cos(A+B)=0
2sinCcosC-√3cosC=0
因为C为三角形ABC中角，
所以cosC≠0
所以sinC=√3/2
所以cosC=±1/2
当cosC=1/2时，利用余弦定理解得：
b=1或3
当当cosC=-1/2时，利用余弦定理解得：
b=-1或-3（均不成立，舍去）
利用正弦定理：
S△ABC=1/2a*b*sinC=√3或3√3

Answer 2

(1)
sin2C+√3cos(A+B)=0
sin2C+√3cos(pi-C)=0
2sinCcosC-√3cosC=0
cosC(sinC-(√3)/2)=0
所以:cosC=0, 或sinC=(√3)/2
而:a=4,c=√13
a>c
如cosC=0，则C=90度，A<C, a<c,与条件矛盾,所以cosC=0不成立
所以:sinC=(√3)/2, C=pi/3
a/sinA=c/sinC
sinA=(a/c)sinC=(2/13)(根号39)
cosA=(1-(12/13))^(1/2)=(根号13)/13
sinB=sin(pi-(A+C))=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
=(3/26)(根号39)
△ABC的面积=(1/2)ac*sinB=3(根号3)

(2)
若A=π/3，cosB>cosC, 则C>pi/3
所以sinC=(√3)/2不成立
只能cosC=0，则C=90度,三角形ABC为直角三角形
向量（AB）·向量（BC）-2向量（BC）·向量（CA）-3向量（CA）·向量（AB）
=ca*cos(pi-B)-0-3bc*cos(pi-A)
=bc*cosA-3ca*cosB
=b(c*cosA)-3a(c*cosB)
=b^2-3a^2

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