Question

已知函数f(x)=(1/3)*x的立方+a*x的平方+bx且f'(-1)=0

求f(x) 单调区间
令a=-1,设函数f(x)在x1,x2(x1<x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))证明MN与曲线f(x)存在异于M，N的公共点
十万火急

Answer 1

f(x)=x³/3 + a*x² + bx
f ' (x) = x² + 2ax + b，代入已知条件 f'(-1)=0，得到：f'(-1)=1 -2a + b = 0，即 b = 2a-1
所以：f ' (x) = x² + (b+1)x + b = (x+b)(x+1)
f(x) 单调区间为：
⑴ 当 -b≥ -1时，即b≤ 1时 x∈[-b，∞]
⑵ 当 -b＜ -1时，即b＞1时 x∈(-∞，-b]

令a=-1,设函数f(x)在x1,x2(x1<x2)处取得极值，记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))证明MN与曲线f(x)存在异于M，N的公共点
如果a = -1，则b＝-3
f(x)=x³/3 -x² - 3x=1/3*x*(x² - 3x - 9) ①--------注释
f ' (x) = x² - 2x - 3 ＝(x-3)(x+1) ②
显然极值在M、N点的横坐标为 -1、+3
不妨设，M(-1, f(-1)) N(3, f(3))
具体得到M(-1, 5/3) N(3, -9)
MN直线方程为：y＝- 32/12 (x-3) - 9 ③
联立求解①、③：
x1= -1 y1 = 5/3
x2 = 1 y2 = -11/3 -----------这个就是要求的
x3 = 3 y3 = -9
注释： 实际上在①这里只要验证一个根f(-1)＞0，另外一个f(3)小于0即可。

Answer 2

f’(x）=x^2+2ax+b,因为f'(-1)=0,故1-2a+b=0,即b=2a-1，所以，f'(x)=x^2+2ax+2a-1.令f'(x)=0,有 x=-1或1-2a。当-1>1-2a，即a>1时，（1-2a,-1）是其单调减区间 ；(-∞,1-2a)，(-1,∞)是其单调增区间。当-1<1-2a,即a<1时，有：（-1，,1-2a）是其单调减区间；（-∞,-1)(1-2a,∞)是其单调增区间。
当a=-1时，b=-3,f(x)=1/3x^3-x^2-3x,f'(x)=x^2-2x-3,则f'(x)=0有根-1，3.则(-1,5/3),(3,-9)分别是M,N.经过MN的直线方程是：y＝- 32/12 (x-3) - 9，将其带入f(x)中得求还有一根（1， -11/3 ），得证（因为已经知道两根，所以虽为三次方程，分解因式已相当容易，求得另一根亦容易）