Question

2009全国卷1数学理11题

函数f(x)定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（D）
A.f(x)为偶函数 B.f(x)为奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)为奇函数
为什么选D，我看答案解析中说到f(x)关于（-1,0）（1,0）对称后，为什么T=2（1-（-1））=4？ 数学高手解答

Answer 1

一丶周期那个有公式：f(x)关于（a,0）（b,0）对称，则T=2|b-a|
二丶f(x+1)是奇函数，即关于（0，0）对称，而f(x)相当于左移一个单位，所以关于（1,0）对称
（-1,0）那个同理
三丶你好我就是那年09全国卷1的考生，所以看到你的问题感触很深，希望你能考个好大学！

Answer 2

f(x+1)=-f(1-x) 假设x=x+2 得到 f(x+3)=-f(-x-1)=f(x-1)
所以f(x+3)跟f(x-1)是一样的，所以就是奇函数了。