Question

高中函数与导数问题

已知函数f(x)=(4x² -7)/(2-x),x属于[0,1]
(1)求f(x)的单调区间和值域
（2）设a大于等于1，函数g(x)=x³-3xa的平方-2a,x属于[0,1],若对于任意x1属于[0,1],总存在x0属于[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立，求a取值范围

Answer 1

对f(x)求导得：f'(x)=(-4x²+16x-7)/（2-x）²,f'(x)=0得x=1/2,x=7/2舍去
令f'(x)<0,得x属于【0，1/2），所以f(x)在【0，1/2）单调递减
令f'(x)>0,得x属于(1/2,1】，所以f(x)在(1/2,1】单调递增
在x=1/2,取得最小值f(1/2)=-4
f(0)=-7/2,f(1)=-3
所以f(x)的值域【-4，-3】

Answer 2

先求导可得：f'(x)=-(4x^2-16x+7)/(2-x)^2
再令f'(x)>0可得：1/2<x<7/2,即是单调增区间，同样可求单调减区间：(-无穷,1/2]并[7/2,+无穷）,又因为x属于[0,1],所以可求增区间为：[1/2,1],增区间为;[0,1/2]