Question

已知函数f(x)=a^x-xlna,其中a属于(1,e]. 求证:对任意x1,x2属于[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|<=e-2

Answer 1

算出来了，那个你看问题，是|f(x1)-f(x2)|<=e-2，是求小于等于，证明是要我们把函数f（x）的最大值和最小值之差算出来，证明小于等于e-2！（因为|f(x1)-f(x2)|的最大值是f（x）最大值减f（x）最小）
好的，思路我们明白了，那么首先求fx的导数，是（a^x-1）lna,由于a属于(1,e]，这个式子在x属于-1到1的时候是小于零，即为减函数，0到1的是增函数，说明在0处我们轻而易举的球出了函数的最小值，为f（0）=1，好的，然后我们看看哪个是最大值，最大值只可能在x=-1或者1处选择，那么x=-1时，f（-1）=a^-1+lna,f(1)=a-lna,那到底是哪个大呢？
我们可以用相减法比较大小，用f(1)-f（-1）=a-lna-（a^-1+lna）=((a-1)^2)/a^2，这个式子明显大于零，所以最大值是f(1)啦！，那么f（1）=a-lna，又a是有范围的，我们可以看看f（1）对a求导，得出1-1/a>0,函数为增函数，a是在1到e之间，所以a等于的时候，有最大值，那么fx的最大值就是e-lne=e-1了，所以绝对值|f(x1)-f(x2)|<=|（e-1）-（1）|<=e-2！！！！