Question

高一数学数列问题。

Answer 1

原式可变形为，n*a(n+1)^2+a(n+1)^2+a(n+1)*a(n)-n*a(n)^2=0
n*(a(n+1)^2-a(n)^2)+a(n+1)*(a(n+1)-a(n))=0
n(a(n+1)+a(n))*(a(n+1)-a(n))+a(n+1)*(a(n+1)-a(n))=0
合并同类项，得（a(n+1)+a(n)）(n*a(n+1)+a(n+1)-n*a(n))=0
得a(n+1)=-a(n)或a(n+1)=n/(n+1)*a(n)=n/(n+1)*(n-1)/n*a(n-1)=……a(1)/(n+1)=1/(n+1)
则a(n)=a(1)*(-1)^(n-1),即，n为奇数是1，偶数是-1.或者a(n)=1/n
表示比较乱，还请见谅。基本思想就是把公式的第一项（n+1）拆成n和1两项，然后变形式合并同类项，最后变成乘积为0的形式。

Answer 2

原式可分解为：
[(n+1)a(n+1) -nan]·(a(n+1)+an)＝0
∴(n+1)a(n+1) ＝nan或者a(n+1)＝-an
（1）(n+1)a(n+1) ＝nan
即：a(n+1)/an＝n/(n+1)
an/a(n-1)＝(n-1)/n
a(n-1)/(n-2)＝(n-2)(n-1)
……………………
a2/a1＝1/2
以上各式左右分别相乘、抵消得：
a(n+1)/a1＝1/(n+1)
∴an＝1/n

（2）a(n+1)＝-an
a1＝1,a2=-1,a3=1,a4=-1,……
an＝-(-1)^n＝(-1)^(n+1)
注：(-1)的(n+1)次方

Answer 3

因式分解，[(n＋1)a(n＋1)－nan][a(n＋1)－an]=0
即a(n＋1)=－an，此时an=(－1)^(n＋1)；
或者(n＋1)a(n＋1)=nan，即：
a(n＋1)/an=n/(n＋1)，
从而：
a2/a1=1/2
a3/a2=2/3
a4/a3=3/4
…
a(n＋1)/an=n/(n＋1)，累乘，有：
a(n＋1)=1/(n＋1)，即：
an=1/n (n>1)。检验n=1也满足。
所以，an=(－1)^(n＋1)或an=1/n。

Answer 4

[(n+1)a(n+1)-nan][a(n+1)+an]=0

(n+1)a(n+1)-nan=0
a(n+1)/an=n/(n+1)
则an/a(n-1)=(n-1)/n
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/(n-1)
……
a2/a1=1/2
相乘
an/a1=1/n
a1=1
所以an=1/n

a(n+1)+an=0
a(n+1)=-1*an
等比，q=-1
a1=1
所以an=1*(-1)^(n-1)

所以
an=1/n或an=(-1)^(n-1)

Answer 5

解方程，第一解很简单，就是（—1）^n+1
第二解，（an+1）/(an)=n/(n+1)根据规律
（an）/(an-1)=(n-1)/n
.......
a2/a1=1/2
累乘起来
an+1=1/(n+1)
所以an=1/n(n〉1）
验证第一项，a1=1成立。