Question

设Sn是公差不为0的等差数列an地前n项和且S1，S2，S4成等比数列，则a1/a2等于

Answer 1

先给出答案：a1/a2＝1/3
序号 第n项 前n项和Sn
第1项： a a
第2项： a+d 2a+d
第3项： a+2d 3a+3d
第4项： a+3d 4a+6d

S1：S2＝S2：S4 或者(S2)^2=＝S1 * S4
(2a+d)^2＝a*(4a+6d) ①
记 a/d＝x 所求的变量为：a1/a2=a/(a+d)＝x/(1+x) ②
对方程①两边同除d^2 (因为d≠0)
(2x+1)^2＝x*(4x+6)
4x+1＝6x
x=1/2 即②中的a1/a2=a/(a+d)＝x/(1+x) =(1/2) / (3/2)＝1/3

追问

在数列an中，a1=4q在数列an中，a1=4且在任意n∈N＋均有an+1=2(an-n+1),求证1/a1-1+1/a2-2+.....+1/an-n<3/4

Answer 2

设公差为 d，则有 Sn＝n a1 + n（n－1）d/2
即S1＝a1，S2＝2a1 + d，S4＝4a1 + 6d
依题意 S1 ×S4＝S2^2
即 a1 （4a1 + 6d）＝（2a1 + d）^2
4a1^2 + 6a1 d＝4a1^2 + 4a1 d + d^2
解得 d＝2a1
所以 a1 / a2＝a1 /（a1 + d)＝a1 / （a1 + 2a1）＝1/3