Question

已知A,B是球O球面上的两点,SC为球O的直径AB=√3.∠ASC=∠BSC=30°,若棱锥S-ABC的体积为√3,求球O的表面积

Answer 1

因为是球O的直径，所以任何一个过AB的平面与球O的交线都是以AB为直径的圆。因此∠SAC=∠SBC=90°。又∠ASC=∠BSC=30°，因此△ASC和△BSC三个角都相等，且两三角形斜边都是SC，于是两三角形全等。设A到SC垂足为D，B到SC垂足为E，不难知SD=SE，因此D和E是同一点。于是SC⊥DA且SC⊥DB。因此SC⊥平面ABD。因此V（S-ABC）=1/3*SC*S(△ABD)，设球O半径为r,则SC=2r,SA=SB=SC*cos∠ASC=√3r,AD=BD=SA*sin∠ASC=√3r/2,因此S(△ABD)=√3*√(3r²/4-3/4)/2=3√(r²-1)/2，因此1/3*2r*√3*3√(r²-1)/2=√3，r√(r²-1)=1,r²(r²-1)=1.因此r²=(1+√5)/2，于是球O表面积是4πr²=2(1+√5)π