Question

第21题运用导数知识，详细一点，谢谢

Answer 1

当两曲线相切时，其切点公切线的斜率是一致的；
椭圆的切线斜率 y'=-b²x/(a²y)，反比例函数的切线斜率为 y'=-λ/x²；
令 -λ/x²=-b²x/(a²y)，得 λ=b²x³/(a²y)；
再将 λ=xy 代入上式，xy=b²x³/(a²y) → b²x²=a²y²；代入椭圆方程：2b²x²=2a²y²=a²b²；
∴ x=±a/√2，y=±b/√2；λ=b²x³/(a²y)=±b²*(a³/2√2)/(a²*b/√2)=±ab/2；
切点 (a/√2,b/√2)，斜率 k=-b/a，切线方程：y-b√2=-(b/a)(x -a/√2)，即 ay+bx-ab√2=0；
切点 (-a/√2,-b/√2)，斜率 k=-b/a，切线方程：ay+bx+ab√2=0；
切点 (-a/√2,b/√2)，斜率 k=b/a，切线方程：y-b/√2=(b/a)(x+a/√2)，即 ay-bx-ab√2=0；
切点 (a/√2,-b/√2)，斜率 k=b/a，切线方程：ay-bx+ab√2=0；