Question

设Z是虚数，W=Z+Z分之一是实数，-1小于W小于2，（1）求|Z|及Pez的取值范围（2）设U=1+Z分之1—Z，求证U为

（2）设U=1+Z分之1—Z，求证U为纯虚数，（3）求W-U的平方的最小值

Answer 1

1. Z=a+bi
1/z=a/(a^2+b^2)-b/(a^2+b^2)i
Z+Z分之一是实数，
b-b/(a^2=b^2)=0
a^2+b^2=1 |Z|=√(a^2+b^2)=1
-1<a+a/(a^2+b^2)<2
-1<2a<2 -1/2<a<1
2. U=(1+Z分之)[1—Z]
=(1-a-bi)/(1+a+bi)
=(1-a-bi)(1+a-bi)/(1+a+bi)(1+a-bi)
=-2bi/(2+2a)
=-bi/(1+a) 为纯虚数
3. W=2a U=-bi/(1+a)
W-U^2
=2a+b^2/(1+a)^2
=2a-1+2/(1+a) -1/2<a<1
>=1 a=0取最小值

Answer 2

设z=a+bi,(a,b∈R,b≠0)
w=z+1/z=a+bi+1/(a+bi)=a+a/(a^2+b^2)+[b-b/(a^2+b^2)]i∈R
b-b/(a^2+b^2)=0, b=b/(a^2+b^2),
b≠0, 1=1/(a^2+b^2), a^2+b^2=1,
1. |z|=√(a^2+b^2)=1
w=a+a/(a^2+b^2)=2a, -1<w<2, -1<2a<2, -1/2<a<1
z的实部取值范围(-1/2,1)
2. 由于|z|=1，设z=cosa+isina,
u=(1-z)/(1+z)=(1-cosa-isina)/(1+cosa+isina)
=(1-cosa-isina)(1+cosa-isina)/(1+cosa+isina)(1+cosa-isina)
=[(1-isina)^2-(cosa)^2]/[(1+cosa)^2+(sina)^2]
=-2isina/2(1+cosa)=-isina/(1+cosa)
所以u是纯虚数
3. z=cosa+isina, 1/z=cosa-isina, w=2cosa
w-u^2=2cosa+(sina)^2/(1+cosa)^2
=2cosa-(1-cosa)^2=-[(cosa)^2-4cosa+1]
=-(cosa-2)^2+3
-1/2<cosa<1
当cosa=-1/2时，w-u^2取得最小值-13/4
说明：题中-1<w<2 可能应为-1≤w≤2，否则没有最小值。

Answer 3

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