Question

A是由20个两位数组成的集合，证明存在A1，B1包含于A，A1∩B1=空集且∑X（X∈A1）=∑X（X∈B1）

Answer 1

假设题目不成立，则：
对于 A 中任意四个元素（从小到大） a1, a2, a3, a4，有：
a1 + a4 ≠如清 a2 + a3
即：
a2 - a1 ≠ a4 - a3
将 A 中元素从小到大每两个数字一组，分为 10 组，分别记为 T1(i)，i ∈ [1, 10]。记 T1(i) 中两数之差为 d1(i)，则 d1(i) 各不相同。渣虚前则 ∑ d1(i) ≥ 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55
将 A 中元素除去誉段最小和最大的元素后，从小到大每两个数字一组，分为 9 组，分别记为 T2(i)，i ∈ [1, 9]。记 T2(i) 中两数之差为 d2(i)，则 d2(i) 各不相同。则 ∑ d2(i) ≥ 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45
所以 A 中最大元素与最小元素的差 = ∑d1(i) + ∑d2(i) ≥ 100 。
这与 A 中元素为两位数不符，假设不成立，题目得证。