Question

函数问题！

如图，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．AD＝2cm，BC＝6cm，AE＝4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M．若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm2．设EP＝xcm，FQ＝ycm，解答下列问题：
(1)直接写出当x＝3时y的值；
(2)求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
(3)当x取何值时，图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形？
(4)直接写出线段PQ在运动过程中成能扫过的区域的面积．

Answer 1

解：（1）由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，
∴SM=S△BPE+S△QFC+S梯形QFEP
BE•x FC•y+ •EF
= ×2x+ ×2y+ ×2
=2（x+y），
把SM=10，x=3代入上式，解得y=2．

（2）由等腰梯形的性质得：BE=EF=FC=2，
∵S△BEP+S梯形PEFQ+S△FCQ=S圆形M，
∴ ×2x+ （x+y）×2+ ×2y=10，
∴y=-x+5，
由 ，得1≤x≤4．

（3）若图形M为等腰梯形（如图1），则EP=FQ，即x=-x+5，解得x= ．
∴当x= 时，图形M为等腰梯形．
若图形M为等腰三角形，分两种情形：
①当点P、Q、C在一条直线上时（如图2），EP是△BPC的高，
∴ BC•EP=10，即 ×6x=10，解得x= ；
②当点B、P、Q在一条直线上时（如图3），FQ是△BQC的高，
∴ BC•FQ=10，即 ×6×（-x+5）=10，解得x= ；
∴当x= 或 时，图形M为三角形．

（4）3cm2；