Question

观察下列等式，tan30°*tan30°+tan30°*tan30°+tan30°*tan30°=1，tan15°*tan30°+tan30°*tan30°+ta

=1，tan10°*tan20°+tan20°tan60°+tan60°*tan10°=1，分析以上各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性加以证明

Answer 1

你的问题相当于假设A+B+C=90°，则有tanA*tanB+tanA*tanC+tanB*tanC=1
可以证明如下：
因为tanA=cot（90°-A），A+B+C=90°,tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB),所以
tanC=tan(90°-A-B)=cot(A+B)=1/tan(A+B)=(1-tanA*tanB)/(tanA+tanB)
于是，tanA*tanB+tanA*tanC+tanB*tanC=tanA*tanB+(tanA+tanB)tanC
=tanA*tanB+(tanA+tanB)*[(1-tanA*tanB)/(tanA+tanB)]
=tanA*tanB+[1-tanA*tanB]
=1
楼上那位就是有些地方没写清楚

Answer 2

A+B+C=90°时，tanA*tanB+tanA*tanC+tanB*tanC=1
证明：
∵A+B+C=90°，C=90°-A-B
∴tanA*tanB+tanA*tanC+tanB*tanC=tanA*tanB+(tanA+tanB)*tan^(-1)(A+B)
=tanA*tanB+(tanA+tanB)(1-tanA*tanB)/(tanA+tanB)=tanA*tanB+1-tanA*tanB
=1