Question

2011广东省初中数学竞赛决赛解答题第二题

已知a,b,c是三角形的三边；p，q是两个实数且p+q=1，请问pa²+qb²-pqc²的符号并说理由。

Answer 1

pa2+qb2-pqc2
=pa2+(1-p)b2-p(1-p)c2
=b2+pa2-pb2-pc2+p2c2
=b2+p(a2-b2-c2)+p2c2
=b2+p(-2bc*cosA)+p2c2

关于p的二次函数，c2>0，开口向上
判别式=4b2c2cos2A-4b2c2=4b2c2(cos2A-1)
-1<cosA<1
所以4b2c2(cos2A-1)<0
二次函数与x轴无交点，故该式恒为正

Answer 2

正号
带入特定数字吧
令a,b,c分别为3,4,5
p=1/2，q=1/2，或者p=0，q=1，
经过运算，代数表达式>0

用2ab<=......<=a²+b²<........
我记不得了。老师有做讲过。

追问

他只说p+q=1，不能“p=1/2，q=1/2，或者p=0，q=1”这样分类吧，再加上也不一定是直角三角形

Answer 3

楼上的解法是正确的。我也只会用这种方法做。中间运用到了余弦定理。初中没有学过。不过一些初中竞赛书里面有介绍。

Answer 4

原式=pa2+qb2-pq(a2+b2)
=pa2+qb2-pa2-qb2
=0
不难啊

追问

没有说是直角三角形啊

追答

...不好意思 搞错了
这题必须用高中定理才能解决
就是3的解法