在三角形ABC中，角B等于90度，角C等于30度，P为三角形内部一点，且PA=√3,PB=2,PC=5，求三角形ABC的面积
解法一：过点P,分别作出关地AC，BC，AB的对称点D，E,F。
由∠ACB=90度可知D,C,E三点在同一条直线上,DE=2PC=4
由∠ABC=30度可知△BFE为有一个角为60度的等腰三角形，所以它为边长为5的等边三角形
由∠CAB＝60度可知△AFD为顶角为120度的等腰三角形，由AF=AD=AP=√3可求出DF=3
在△EFD中，DF=3，DE=4,EF=5可知△EFD为直角形。
所以S（△ABC）=〔S（△AFD）+S（△EFD）+S（△EFB）〕/2
=（3*√3+3*4+5*5√3/2）/4
=（6+7√3）/2
解法二：从p点做AC的垂线，垂足为M,做BC的垂线，垂足为M,设PM=x,AM=y.AC=a
则有：AB=2a,BC=√3a.
根据题意△AMP，△PNC，△PNB都为直角三角形，根据勾股定理可有以下几个等式：
x^2+y^2=3....(1)
x^2+(a-y)^2=4....(2)
(a-y)^2+(√3a-x)^2=25....(3)
（2）-(1)得到：(a-y)^2-y^2＝1
解得：y=(a^2+1)/2a.....(4)
（3）-（2得到：(√3a-x)^2-x^2＝2
解得：x=√3(a^2-7)/2a.....(5)
把(4)和(5)代入到（1）得到：
〔√3(a^2-7)/2a〕^2+〔(a^2+1)/2a〕^2=3
化简整理后可得：
a^4-14a^2+37=0
a^2=7+2√3.
或a^2=7-2√3.(这时斜边等于2a,斜边的平方等于4a^2＜25,也就是说这时斜边小于5,因此不可能在这个三角形内部做出一条边长为5的线段，所以应当舍去)
S（△ABC）=√3a^2/2=(√3/2)a^2=(6+7√3)/2.
