Question

设总体X的概率密度为f（x，θ）=θ2x3e-θx ， x＞00 ， &nbs...

设总体X的概率密度为f（x，θ）=θ2x3e-θx ， x＞00 ， 其他，其中θ为未知参数且大于零，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的最大似然估计量．

Answer 1

（1）先求出总体的数学期望E（X）
E(X)=

∫

+∞  -∞

xf(x)dx=

∫

+∞  0

θ2

x2

e-

θ

x

dx=θ，
令E(X)=

.

X

=

1

n

n

n=1

Xi，
得θ的矩估计量：θ=

.

X

=

1

n

n

i=1

Xi
（2）当x_i＞0（i=1，2，…n）时，似然函数为：
L（θ）=

n π

i=1

(

θ2

xi3

e-

θ

xi

)=

θ2n

( n π i=1 xi)3

e-θ(

n

i=1

1

xi

)，
取对数，lnL(θ)=2nlnθ-θ(

n

i=1

1

xi

)-3

n

i=1

lnxi，
令

dlnL(θ)

dθ

=0，得

2n

θ

-

n

i=1

1

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