Question

已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（　　）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B．y＝

已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（　　）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B．y＝f(x)的图象关于x＝π2对称C．f(x)的最大值为32D．f（x）既是奇函数，又是周期函数

Answer 1

对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=-cosxsin2x，
f（π-x）=cos（π-x）sin（2π-2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π-x）=0，
可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；
对于B，因为f（

π

2

+x）=cos（

π

2

+x）sin（π+2x）=-sinx（-sin2x）=sinxsin2x，
f（

π

2

-x）=cos（

π

2

-x）sin（π-2x）=sinxsin2x，所以f（

π

2

+x）=f（

π

2

-x），
可得y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称，故B正确；
对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos²xsinx=2sinx（1-sin²x），
令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1-t²），-1≤t≤1，
∵g（t）=2t（1-t²）的导数g'（t）=2-6t²=2（1+

3

t）（1-

3

t）
∴当t∈（-1，-

3

3

）时或t∈（

3

3

，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；
当t∈（-

3

3

，

3

3

）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．
因此函数g（t）的最大值为t=-1时或t=

3

3

时的函数值，
结合g（-1）=0＜g（

3

3

）=

4 3

9

，可得g（t）的最大值为

4 3

9

．
由此可得f（x）的最大值为

4 3

9

而不是

3

2

，故C不正确；
对于D，因为f（-x）=cos（-x）sin（-2x）=-cosxsin2x=-f（x），所以f（x）是奇函数．
因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），
所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确．
综上所述，只有C项不正确．
故选：C