已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 1 2 ，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为12，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2... 已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 1 2 ，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l 1 ，l 2 是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l 1 交E于A，B两点，l 2 交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l 1 的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求 OM ? ON 的取值范围．展开

 我来答

1个回答

#合辑# 机票是越早买越便宜吗？

小白24q偢
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（Ⅰ）设椭圆方程为

x 2

a 2

y 2

b 2

=1(a＞b＞0) ，
由

2a=4

a 2 = b 2 + c 2

得

a=2

∴椭圆方程为

x 2

y 2

=1 ；
（2）由题意知，戚悉直线l₁ 的斜率存在且不为零
∵ l 1 ：y=kx+2 ，∴ l 2 ：y=-

x+2 ．
由

x 2

y 2

y=kx+2

消去y并化简整理，
得（3+4k² ）x² +16kx+4=0
根据题意，行兄△=（16k）² -16（3+4k² ）＞0，解得 k 2 ＞

．
同理得 (-

) 2 ＞

，
∴

＜ k 2 ＜4，k∈档仔袭(-2，-

)∪(

，2) ；
（Ⅲ）设A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），M（x₀ ，y₀ ）
那么 x 1 + x 2 =-

16k

3+4 k 2

，∴ x 0 =

x 1 + x 2

3+4 k 2

y 0 =k x 0 +2=

3+4 k 2

，∴ M(-

3+4 k 2

，

3+4 k 2

)
同理得 N(-

8(-

)

3+4 (-

) 2

，

3+4 (-

) 2

) ，即 N(

k 2

，

k 2

)
∴

3+4 k 2

k 2

3+4 k 2

k 2

25+12( k 2 +

k 2

)

∵

＜ k 2 ＜4 ，∴ 2≤ k 2 +

k 2

＜ <

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