选修4-1：几何证明选讲如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于B、C两点，∠APC的平分线分
选修4-1：几何证明选讲如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于B、C两点，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E．（I）证明：AD=AE；（II...
选修4-1：几何证明选讲如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于B、C两点，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E．（I）证明：AD=AE；（II）已知∠C＝30°，求PCPA的值．
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（I）证明：PA与圆O相切于点A，AB是弦，
∴∠PAB=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠PAB+∠APD，
∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
（II）解：由（I）知∠PAB=∠C=30°，
∵∠APC=∠BPA，
△APC∽△BPA，
∴
＝
．
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中，C=30°，
＝
＝
＝
，
∴
＝
＝
．
∴∠PAB=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠PAB+∠APD，
∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
（II）解：由（I）知∠PAB=∠C=30°，
∵∠APC=∠BPA，
△APC∽△BPA，
∴
| PC |
| PA |
| CA |
| AB |
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中，C=30°，
| CA |
| AB |
| 1 |
| tanC |
| 1 |
| tan30° |
| 3 |
∴
| PC |
| PA |
| CA |
| AB |
| 3 |
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