Question

如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O

如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接OE
FE、FA是⊙O的两条切线
∴∠FAO=∠FEO=90°
在Rt△OAF和Rt△OEF中，

FO＝FO OA＝OE

∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），
∴∠AOF=∠EOF=

1

2

∠AOE，
∴∠AOF=∠ABE，
∴OF∥BE，
                                            
（2）解：过F作FQ⊥BC于Q
∴PQ=BP-BQ=x-y
PF=EF+EP=FA+BP=x+y
∵在Rt△PFQ中
∴FQ²+QP²=PF²
∴2²+（x-y）²=（x+y）²
化简得：y＝

1

x

，（1＜x＜2）；

（3）存在这样的P点，
理由：∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，
即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此时Rt△AFO中，
y=AF=OA?tan30°=

3

3

，
∴x＝

1

y

＝

3

∴当x＝

3

，y＝

3

3

时，△EFO∽△EHG．