Question

己知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P

己知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD。 （1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P处线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF= ，求tan∠ABF的值。





Answer 1

解：（1）∵BD平分∠CBA， ∴∠CBD=∠DBA， ∵∠DAC与∠CBD都是 所对的圆周角， ∴∠DAC=∠CBD， ∴∠DAC=∠DBA； （2）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 又∵DE⊥AB于点E， ∴∠DEB=90°， ∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°， ∴∠ADE=∠ABD=∠DAP， ∴PD=PA， 又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAC， ∴∠PDF=∠PFD， ∴PD=PF， ∴PA=PF即P是线段AF的中点； （3）∵∠DAF=∠DBA,∠ADB=∠FDA=90°， ∴△FDA∽△ADB， ∴ ， 在Rt△ABD中，tan∠ABD= ，即tan∠ABD= 。