Question

如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M（3，1）平行于OM的直线l在

如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M（3，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），且交椭圆于A，B两不同点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

（ I）解：设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0）
由题可得

a＝3b 9 a2 + 1 b2 ＝1

，解得a²=18，b²=2．
所求椭圆的方程为

x2

18

+

y2

2

＝1．…（4分）
（ II）解：∵直线l∥OM且在y轴上的截距为m，
∴直线l方程为：y=

1

3

x+m．
联立

x2 18 + y2 2 ＝1 y＝ 1 3 x+m

消y化简得2x²+6mx+9m²-18=0
∵直线l交椭圆于A，B两点，
∴△=（6m）²-4×2×（9m²-18）＞0
解得-2＜m＜2又因为m≠0．
∴m的取值范围为-2＜m＜2且m≠0．…（8分）
（ III）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，
则问题只需证明k₁+k₂=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则k1＝

y1?1

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