Question

已知y=f（x）是定义在R上的函数，对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0，且当x＞0时，f（x）=-x2+2x+1．（1

已知y=f（x）是定义在R上的函数，对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0，且当x＞0时，f（x）=-x2+2x+1．（1）求y=f（x）的解析式；（2）画出函数y=f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间及在每个区间上的增减性；（3）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，试确定a的取值范围．

Answer 1

（1）∵y=f（x）是定义在R上的函数，f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+2（-x）+1]=x²+2x-1，
∵f（0）=0，
∴f（x）=

?x2+2x+1(x≥0) 0                  (x＝0) x2+2x?1  (x＜0)

．
（2）作图如下：

由图知，f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数，f（x）在[-1，1]上是增函数．
（3）由图知，f（x）在[-1，1]上单调递增，要使f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，
只需

a?2＞?1 a?2≤1

，解得1＜a≤3．