Question

如图所示，在三角形ABC中，AB=AC，D是BC上的中点，AE平分角BAD交BC于点E，点O是AB上的一点，圆O过AE两点，

如图所示，在三角形ABC中，AB=AC，D是BC上的中点，AE平分角BAD交BC于点E，点O是AB上的一点，圆O过AE两点，交AD于点G，交AB于点F
求证（1）BC与圆O相切
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG凡人度数

Answer 1

1）连接OE，则三角形OAE是等腰三角形，角OEA=角OAE=角EAD,故OE平行于AD，三线合一知AD垂直BC，则OE垂直BC，BC为圆O切线
2）由题意四边形AGEF是圆内接四边形，故∠EFG=∠DAE=1/2∠DAC=1/2*1/2∠BAC=30°

一开始看错了，以为是∠GEF

Answer 2

（1）证明：因为圆O过AE，所以OA=OE，所以∠OAE=∠OEA，
又因为AE平分∠BAD,所以∠OAE=∠DAE 所以 ∠OEA=∠DAE
所以AD//OE,又因为D为BC中点，AB=AC 所以AD垂直BC 所以OE也垂直BC
所以圆O与BC相切。

（2）F E G都在圆上，所以OE=OF=OG 又因为∠BAC=120° 所以∠ABC=30° ∠BOE=60°
所以三角形FOE和三角形OGE都是正三角形，所以∠EFG=30°

Answer 3

（2）易证∠dab=60度AE平分∠DAB ∠DAE=∠EAF=30° 弧GE=弧GE ∠DAB=∠EFG=30°