Question

大学线性代数的题目：证明,若向量组A+B,B+C,C+A线性无关，则向量组A,B,C也线性无关

Answer 1

由题知，对任意的不全为零的K1,K2,K3.都使得K1(A+B)+K2(B+C)+K3(C+A)≠0，即A(K1+K3)+B(K2+K1)+C(K3+K2)≠0，
由于K1,K2.K3是任意不全为零的数组，所以A,B,C也线性无关。

Answer 2

由题得，存在不全为零的数 k1, k2, k3,
使 k1(A+B)+k2(B+C)+k3(C+A)≠0
即(k1+k3)A+(k1+k2)B+(k2+k3)C≠0
∴A,B,C也线性无关

追问

线性相关是存在不全为零的K1,K2,K3,使得K1A+K2B+K3C=0.
那么线性无关就该是任意的数都无法满足K1A+K2B+K3C=0，而不是存在不满足的。

追答

你理解有偏差，线性相关是存在不为零的数组，使向量等于零；
而线性无关是，不存在这样的数组使向量等于零
这类题也可以用反证法，比较容易做
只有任意一点与题设条件不符合的，即原题成立
但是，反证法要注意的是，原题与假设必须是非此即彼的关系

追问

我想你误会我的意思了
请问对任意的数都无法满足K1A+K2B+K3C=0和不存在这样的数组使向量等于零
这两句话有什么区别?
这是我在做的题的必要性。充分性我就是用反证法证明的，必要性用反证法证明的时候没有找到矛盾的地方。

追答

不存在数组，就是没有这样的数组，和任意数组都无法满足向量等于零，
意思差不多吧，不过我想您的表述恐怕不得分哦……^_^