Question

已知f（x）=2x，x∈R，可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式2ag（x）+h（2x）≥0

已知f（x）=2x，x∈R，可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式2ag（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

f（x）=2^x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②联立可得，h（x）=

1

2

(2x+2?x)，g（x）=

1

2

(2x?2?x)，
2ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立
2a≥?

h(2x)

g(x)

于x∈[1，2]恒成立
2a≥-

4x+4?x

2x+2?x

＝?(2x?2?x)+(2?x?2x)对于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈[

3

2

，

15

4

]则t+

2

t

在t∈[

3

2

，

15

4

]单调递增，
t=

3

2

时，则t+

2

t

=

17

16

，a≥-

17

12

故答案为：a≥?

17

12

．