Question

一道初三的几何题

如图，△ABC中，∠BAC=60o，AB=2AC，点P在△ABC内，且PA= ，PB=5，PC=2，求△ABC的面积。

Answer 1

1.首先证明△ABC是直角三角形。
证明过程：假设BC与AC不垂直，则过点B作BD⊥AC交直线AC与点D
∵∠A=60°（已知）
∴AB=2AD（直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半）
∵AB=2AC（已知）
∴AC=AD（等量代换）
这与直线外一点与直线上各点所连成的所有线段中，垂线段最短相矛盾，所以假设错误，即AC、AD两线重合。
∴BC⊥AC
即△ABC为直角三角形。（直角三角形定义）。
2.作全等△AP1C关于直线AC与△APC全等。△BP2C关于直线BC与△BPC全等.。。△BP3A关于直线AB与△BPA全等.。
则，∠P2BP3=2∠B=60°，∠P1AP3=2∠A=120°。 ∠P2CP1=2∠C=180°，所以点P2，P1，C 在同一直线上。
依次连接点A，P1，C，P2，B，P3，A。得到一个凸五边形。且五边形的面积是△ABC的二倍。连接P1，P2，P3，。易得P2P3=BP2=BP=5，P1P2=P1C+P2C=2PC=4，由△AP1P3为等腰△（因为AP3=AP1），且求得∠P1AP3=2∠A=120°。所以S△P1AP3=3√3/4，且P3P1=3，
进一步求得（3，4，5 为勾股数）△P1P2P3为直角△。
易求S△P2BP3=25√3/4，S△P1P2P3=6。
所以S△P2BP3+S△P1P2P3+S△P1AP3=7√3+6
所以△ABC=3+7√3/2。

Answer 2

分别作出点P关于三边的三个对称点，与三个顶点连接，得到边长分别为根号3，根号3，4，5，5为边的五边形，利用三个对称点之间的连线将五边形分成一个以5为边长的等边三角形，一个以根号3为腰长的等腰三角形，一个以3，4，5为边长的直角三角形，这三个三角形有面积和就是原直角三角形的面积的2倍.

Answer 3

菱形对角线相互垂直平分。利用这个定理，连接ac，ob交于f点，可得of=根号3/2，oc=根号3，所以角cof=30度，所以角EOD=60。所以coa为正三角形。所以ac=根号3

Answer 4

（1）连接DC
∵MN是CA垂直平分线，D在MN上
∴△ADC是以AC为底的等腰三角形
∵AC⊥AE，∠CAB=30°，∴∠BAE=60°
∵AB⊥AD，∴∠CAD=60°，∴△ADC是等边三角形
∴AD=AC，又有AB=AE
∴△ADB≌△ACE，∴BD=CE
（2）过E作EG⊥AB于G
∵AB=AE，∠BAE=60°
∴∠AEG=30°，∠AEG=∠CAB
∵BC//AE，AC⊥AE
∴∠ACB=∠EGA=90°
∴△ABC≌△EAG，∴EG=AC
∴EG=DA，又∠EGF=∠DAF=90°，∠EFG=∠DFA
∴△DAF≌△EGF
∴DF=EF，即F是DE中点

Answer 5

解:分别过A,D作AH'平行于GH交BC于H',DE'平行于FE交AB于E',所以有:DE'=FE,AH'=GH.在三角形ABH'和三角形DAE'中,以为GH垂直于EF,则AH'垂直于DE'那么,角AE'D=角AH'B,故两三角形相似,所以有:
DE':AH'=EF:GH=AD:AB=3:2