Question

已知函数f(x)＝ln x＋2x，g(x)＝a(x 2 ＋x)．(1)若a＝ ，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；(2)若f(x)≤g(x

已知函数f(x)＝ln x＋2x，g(x)＝a(x 2 ＋x)．(1)若a＝ ，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间；(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）即函数F(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)． （2）[1，＋∞)

解：(1)若a＝ ， 则F(x)＝ln x＋2x－ x 2 － x， 其定义域是(0，＋∞)， 则F′(x)＝ ＋2－x－ ＝－ . 令F′(x)＝0，得x＝2，x＝－  (舍去)． 当0<x<2时，F′(x)>0，函数单调递增； 当x>2时，F′(x)<0，函数单调递减． 即函数F(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)． (2)设F(x)＝f(x)－g(x) ＝ln x＋2x－ax 2 －ax， 则F′(x)＝－ ， 当a≤0时，F′(x)≥0，F(x)单调递增， F(x)≤0不可能恒成立； 当a>0时，令F′(x)＝0， 得x＝ ，x＝－  (舍去)． 当0<x< 时，F′(x)>0，函数单调递增； 当x> 时，F′(x)<0，函数单调递减． 故F(x)在(0，＋∞)上的最大值是F ，依题意F ≤0恒成立， 即ln ＋ －1≤0. 令g(a)＝ln ＋ －1，又g(x)单调递减，且g(1)＝0，故ln ＋ －1≤0成立的充要条件是a≥1， 所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．