Question

如图,∠BAC=90°,AB=AC,AD=DC,AE⊥BD,求证:∠ADB=∠CDE

如图,∠BAC=90°,AB=AC,AD=DC,AE⊥BD,求证:∠ADB=∠CDE

Answer 1

证明：过点C作CG⊥AC交AE延长线于G

∵BA⊥AC,CG⊥AC
∴CG平行于AB
∴∠ABC=∠BCG（两直线平行,内错角相等）
∵∠BAD=90°,AE⊥BD
∴∠ABD=∠CAG（同角的余角相等）
在Rt△ABD与Rt△CAG中
∠ABD=∠CAG
AB=CA
∠BAD=∠ACG
∴Rt△ABD≌Rt△CAG（ASA）
∴AD=CG（全等三角形对应边相等）
∠ADB=∠CGA（全等三角形对应角相等）
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∴∠ACB=∠BCG（等量代换）
∵AD=DC,AD=CG
∴CD=CG（等量代换）①
在△DCE与△GCE中
∠DCE=∠GCE
CD=CG
CE=CE
∴△CDE≌△CGE（SAS）
∴∠CDE=∠CGE（全等三角形对应角相等）
∴∠ADB=∠CDE（等量代换）

Answer 2

证明：过点C作CG⊥AC交AE延长线于G
∵BA⊥AC,CG⊥AC
∴CG平行于AB
∴∠ABC=∠BCG（两直线平行,内错角相等）
∵∠BAD=90°,AE⊥BD
∴∠ABD=∠CAG（同角的余角相等）
在Rt△ABD与Rt△CAG中
角ABD=角CAG
AB=CA
角BAD=角ACG
∴Rt△ABD≌Rt△CAG（ASA）
∴AD=CG（全等三角形对应边相等）
∠ADB=∠CGA（全等三角形对应角相等）
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∴∠ACB=∠BCG（等量代换）
∵AD=DC,AD=CG
∴CD=CG（等量代换）①
在△DCE与△GCE中
角DCE=角GCE
CD=CG
CE=CE
∴△CDE≌△CGE（SAS）
∴∠CDE=∠CGE（全等三角形对应角相等）
∴∠ADB=∠CDE（等量代换）

Answer 3

Answer 4

设AB=AC=2a。现以A为坐标原点，AC为y轴，AB为x轴做平面直角坐标系。

则A为(0，0)，B(2a，0)，C(0，2a)，D(0，a)。所以直线BD为y=-x/2+a，直线BC为y=-x+2a。
因为AE⊥BD。所以直线AE为y=2x。其与直线BC交点为E(2a/3，4a/3)。
则有k(DE)+k(DB)=1/2+(-1/2)=0。而直线DE的倾斜角为π/2-∠CDE，直线BD的倾斜角为π/2+∠ADB。所以tan(π/2-∠CDE)+tan(π/2+∠ADB)=0。
而tan(π/2-∠CDE)=cos(∠CDE)/sin(∠CDE)=cot(∠CDE)，tan(π/2+∠ADB)=-cot(∠ADB)。
所以cot(∠CDE)-cot(∠ADB)=0，所以∠CDE=∠ADB。

Answer 5

【引用】
过点C作CG⊥AC交AE延长线于G
∵BA⊥AC,CG⊥AC
∴CG平行于AB
∴∠ABC=∠BCG（两直线平行,内错角相等）
∵∠BAD=90°,AE⊥BD
∴∠ABD=∠CAG（同角的余角相等）
在Rt△ABD与Rt△CAG中
角ABD=角CAG
AB=CA
角BAD=角ACG
∴Rt△ABD≌Rt△CAG（ASA）
∴AD=CG（全等三角形对应边相等）
∠ADB=∠CGA（全等三角形对应角相等）
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∴∠ACB=∠BCG（等量代换）
∵AD=DC,AD=CG
∴CD=CG（等量代换）①
在△DCE与△GCE中
角DCE=角GCE
CD=CG
CE=CE
∴△CDE≌△CGE（SAS）
∴∠CDE=∠CGE（全等三角形对应角相等）
∴∠ADB=∠CDE（等量代换）