Question

求解：“AB为圆O的直径,AD与圆O相切于点A，DE与与圆O相切于点E，点C为DE延长线上的一点，且CE=CB”

(1)求证：BC为圆O的切线
(2)连接AE，AE的延长线与BC的延长线相交于点G（图2），若AB=2根号5，AD=2，求线段BC和EG的长

Answer 1

（1）∵OE=OB BC=EC
∴∠OBC=∠OEC
∵CD为圆O的切线
∴∠OBC=∠OEC=90°
∴∠OBC=∠OEC=90°
(2)∵ ∠OAD=∠OED=90，
OA=OE，OD=OD
∴ △OAD≌△OED
∠AOD=∠EOD
AD=DE=2
OD=根号（OA平方+AD平方）=3
由（1）知 △OCE≌△OCB
∠BOC=∠EOC
∴∠BOC+∠AOD=∠EOC+∠EOD
∴∠COD=90
∵AD、BG为圆O的切线
∴ AD‖BG
△COD的面积等于梯形ABCD的一半
设BC=x,OC=根号(x平方+根号5平方)
(AD+BC)×AB/2=2×OD×OC=2×3×根号(x平方+根号5平方)
(2+x)×2根号5/2=6×根号(x平方+根号5平方)
可以解得 x=5/2
BC=5/2
连接BE, ∠AEB为圆周角
BC=CE=5/2
∵AD、BG为圆O的切线
∴ AD‖BG
∠DAE=∠CGE，
∵ ∠AED=∠GEC, ∠DAE=∠DEA
∴ ∠CEG=∠CGE
∴ CG=CE=5/2
BG=BC+CG=5
AG=根号（AB平方+BG平方）=3根号5
∴AG×BE/2=AB×BG/2
BE=AB×BG/AG=2根号5×5/3根号5=10/3
EG平方=根号(BG平方2-BE平方2)= 根号(25-100/9)= 5根号5/3
∴ BC=5/2，EG=5根号5/3

追问

太长了吧！

Answer 2

：（1）连接OE，OC；（1分）
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
∴△OEC≌△OEC（SSS）
∴∠OBC=∠OEC （2分）
又∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC=90° （3分）
∴∠OBC=90°
∴BC为⊙O的切线．（4分）

（2）过点D作DF⊥BC于点F，
∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B
∴DA=DE，CE=CB，
设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2，
在Rt△DFC中， ，
解得： ；（6分）
∵AD‖BG，
∴∠DAE=∠EGC，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠AED；
∵∠AED=∠CEG，
∴∠EGC=∠CEG，
∴CG=CE=CB= ，（7分）
∴BG=5，
∴AG= ；（8分）
解法一：连接BE， ，
∴ ，
∴ ，（9分）
在Rt△BEG中，
，（10分）
解法二：∵∠DAE=∠EGC，∠AED=∠CEG，
∴△ADE∽△GCE，（9分）
∴ ，解得： ．（10分）