Question

求证：1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=1/3*n(n+1)(n+2)

提示：左边*3
只能按提示解答！ 把每个加数写成两个连乘的差 中间全部抵消

我不知道怎么写！

Answer 1

没看懂提示为什么这样要求
不乘3也能做
不过你要求，我们可以这样：
首先把n(n+1)拆成n^2+n，然后每一项都以此类推，左边变成(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)……（n^2+n）
然后把平方项放在一起相加，普通数字放在一起相加，得到：
（1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + …… + n^2）+(1+2+3+4+……+n)
左边的括号内是一个特例求和公式，等于n(n+1)(2n+1)/6，可用数学归纳法证明，也可用立方和公式推导，右边括号内是等差数列，不用说了吧，
你不是要乘以3吗，就在每个括号前乘以3好了，然后分别计算，再分别乘以3，最后相加得
n(n+1)(n+2)，原式即可证明
另外你可以用数学归纳法证明
复制的资料：2³=(1+1)³=1+3+3+1
3³=(1+2)³=1+3×2²+3×2+2³
...
(1+n)³=1+3×n²+3×n+n³
两边相加
2³+3³+...+n³+(1+n)³=n+3(1+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+1+2³+3³+...+n³
整理得：
S=n(n+1)*(2n+1)/6

Answer 2

给你提供一种思路：左边=1*（1+1）+2*（2+1）+3*（3+1）+…+n（n+1）=1+2²+3²+...+n²+1+2+3+...+n
=……LZ不要太懒啊

Answer 3

根据通项n(n+1)=n^2+n可知，
原式左边=（1^2+2^2+3^2+……n^2)+(1+2+3+……+n)
=1/6*n(n+1)(2n+1)+1/2*n(n+1)
=1/6*n(n+1)(2n+4)
=1/3*n(n+1)(n+2)