Question

初三数学题·

如图（1） 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AC相交与点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P。
（1） 当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长。
（2） 若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值
（3） 若tan∠BPD=三分之一，设CE=x △ABC的周长为y 求y关于x的函数关系式。
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Answer 1

（1）解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°．
∵AD=AE，
∴∠AED=60°=∠CEP，
∴∠EPC=30°．
∴三角形BDP为等腰三角形．
∵△AEP与△BDP相似，
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，
∴AE=EP=1．
∴在Rt△ECP中，EC= 12EP= 12；
（2）设BD=BC=x．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
（x+1）2=x2+（2+1）2，
解之得x=4，即BC=4．
过点C作CF‖DP．
∴△ADE与△AFC相似，
∴ AEAC=ADAF，即AF=AC，即DF=EC=2，
∴BF=DF=2．
∵△BFC与△BDP相似，
∴ BFBD=BCBP=24=12，即：BC=CP=4．
∴tan∠BPD= ECCP=24=12．
（3）过D点作DQ⊥AC于点Q．
则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1-a．
∴ QEEC=DQCP且 tan∠BPD=13，
∴DQ=3（1-a）．
∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2
即：12=a2+[3（1-a）]2，
解之得 a=1(舍去)a=45．
∵△ADQ与△ABC相似，
∴ ADAB=DQBC=AQAC=451+x=45+5x．
∴ AB=5+5x4，BC=3+3x4．
∴三角形ABC的周长 y=AB+BC+AC=5+5x4+3+3x4+1+x=3+3x，
即：y=3+3x，其中x＞0．