Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c, （初三数学复习题）

已知抛物线y=3ax²+2bx+c,
(1) 若a=b=1,c=-1,求该抛物线与x轴公共点的坐标
(2) 若a=b=1，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围
(3) 若a+b+c=0,且x1=0时，对应的y1＞0，x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，请阐述理由。

Answer 1

楼上两位考虑问题不周，且看数弊亏学专家为您解答：
(1) 将a=b=1,c=-1代入抛物线函数得：y=3x² + 2x - 1
要求抛物线与x轴公共点的坐标，即y=0
所以3x² + 2x - 1 =0
(3x -1)(x +1)=0
解得x1=1/3 x2=-1
所以抛物线与x轴公共点的坐标是（1/3 ，0）和（-1，0）
(2) 将a=b=1代入抛物线函数得：y=3x² + 2x +c
因为当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，作图(抛物线形状固定，c只是使抛物线上下平移)很容易看出：
1. △=2²-4×3c>=0,解得c<=1/3
2. y=f(x)=3x² + 2x +c
f(-1)<0且f(1)>0,代入函数解祥卜做得-5<c<-1
或f(-1)>0且f(1)<0,代入函数解得c>-1且c<-5，不合舍去
综上，当-5<c<=1/3时，抛物线在-1<x<1范谨衡围内与x轴有且只有一个交点
(3) 因为a+b+c=0，得△=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²>=0
即抛物线在（-∞，∞）定义域内与x轴至少有一个交点
又因为x1=0时，对应的y1＞0，x2=1时，对应的y2＞0
作图容易看出当a>0时，抛物线与x轴至少有一个公共点，且公共点在（0，0）和（1，0）之间
当a<0时，抛物线与x轴有两个公共点，且公共点在（0，0）和（1，0）两点之外

Answer 2

1.y=3x2+2x-1,令y=0，则3x2+2x-1=0 x=1或x=-1/3
2.y＝3ax2+2bx+c，若a=b=1，y=3x2+2x+c，开口向上，对称轴x=-2/键搭(2*3)=-1/3
对称轴在区间内，当抛物线与x轴相切时，只有一个共点，判别式=2^2-4*3*c=0，c=1/3
3. 若a+b+c=0
x1=0时，对应的y1＞0，y1=0+0+c＞0，c＞0
x2=1时，对应的y2＞0，y2=3a+2b+c=a+b+c+2a+b=0+2a+b＞0
由（1）得：a+b=-c＜0
又，根据（3），2a+b=a+b+a＞0，而a+b＜0，∴a＞0
根据a＞0，a+b＜0，∴b＜0，b＜-a
又，根据（稿余拿3），b＞-2a
∴-2a＜b＜-a，1＜-b/a＜2a
对称轴x=-(2b)/(2*3a)=-b/(3a)=-b/a*1/3，根据1＜-b/a＜2，∴对称轴在1/3和1/2之间
由于a＞0，所有开口线向上，有毁晌极小值：
极小值=[4*（3a)*c-(2b)^2]/[4*3a*c]=(3ac-b^2)/(3ac)=[3ac-(-a-c)^2]/(3ac)
=[-ac-(a-c)^2]/(3ac)
分母(3ac）＞0，分子[-ac-(a-c)^2]＜0
∴极值＜0
∴当0＜x＜1时，抛物线与x轴是有公共点

Answer 3

答旦旅谨模基案扫描镇激