Question

如图所示，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）， （4，3），动点M、N分别从

如图所示，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0），

（4，3），动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点M作MP⊥OA，交AC于P，连结NP，已知动点运动了x秒.

（1）P点的坐标为（＿，＿）；（用含x的代数式表示）

（2）试求△NPC的面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的X值；

（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由.

Answer 1

由已知得，OA=4，AB=3.
(1) OM=x,PM/OC=MA/OA, MA=OA-OM=4-x，所以PM=3(4-x)/4。故P点坐标为(x,3-3x/4).
(2) CN看作底，高为3-PM=3x/4, CN=BC-BN=4-x, 面积S=3x(4-x)/2。
S=(4x-x^2)*3/2=[4-(2-x)^2]*3/2，x=2时S最大为6.
(3) 高平分CN时等腰，此时CN=2x，又CN=4-x，所以x=4/3时等腰。

Answer 2

（1）将A（4,0） C（0,3）代入y=kx+b，得y=-3/4x+3
所以p（x，-3/4x+3）
（2）过p点作PE⊥BC于E点
∵矩形ABCD
∴EM=AB=3
∴PE=EM-PM=3/4x
∴S△NPC=1/2·NC·PE
∴S=-3/8x²+2/3x
∵a=-3/8x＜0
∴当x=-2a/b=2时，S有最大值=3/2
(3)高平分CN时等腰，此时CN=2x，又CN=4-x，所以x=4/3时等腰。
当PC=NC时
∵∠PAO=∠PAM，∠COA=∠PMA
∴△PAM≌△CAO
∴PA/AC=PM/CA
∴AP=5-5/4x
又∵AC²=AO²+CO²
∴AC=5
∴PC=AC-AP=5/4X
∴5/4X=4-X
X=16/9

Answer 3

延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，∵PQ⊥BC，∴NQ=CQ=x．∴3x=4，∴x=4/3．
②若CP=CN，则，CN=4-x，PQ=3/4x，CP=54x，4-x=54x∴x=16/9．
③若CN=NP，则CN=4-x．∵PQ=3/4x，NQ=4-2x，在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2
∴（4-x）2=（4-2x）2+（3/4x）2，∴x=128/57．
综上所述，x=4/3，或x=16/9，或x=128/57．