已知锐角A,B满足sinB=2cos(A+B)sinA,1 .求证：tan(a+b)=3tana 2 .求tanb的最大值。
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sinB=2cos(A+B)sinA可化为
sin(A+B-A)=2cos(A+B)sinA,
即sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA=2cos(A+B)sinA,
即sin(A+B)cosA=3cos(A+B)sinA,
两边同除以cos(A+B)cosA得tan(A+B)=3tanA,
所以tanB=tan[(A+B)-A]
=(tan(A+B)-tanA]/[1+tan(A+B)tanA]
=2tanA/(1+3tanAtanA)≤2tanA/2√3tanA=√3/3.
sin(A+B-A)=2cos(A+B)sinA,
即sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA=2cos(A+B)sinA,
即sin(A+B)cosA=3cos(A+B)sinA,
两边同除以cos(A+B)cosA得tan(A+B)=3tanA,
所以tanB=tan[(A+B)-A]
=(tan(A+B)-tanA]/[1+tan(A+B)tanA]
=2tanA/(1+3tanAtanA)≤2tanA/2√3tanA=√3/3.
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