Question

请教如何证明一下几题微积分题目

第一题：假设函数 f：R->R 满足f(2x - f(x)) = x
设r为固定实数
a）证明如果有y满足f(y)=y+r,则f(y-nr)=(y-nr)+r n为正整数
b）证明，在a的条件之上，如果f为单射函数，则f(y-nr)=(y-nr)+r n为整数

第二题：
假如函数f为单射函数并满足 lim x->a f(x) =f(a) 并f(0)=0 而且f(2x - f(x)) = x
证明 x为任意实数 f(x)=x
� f(x)) = x

Answer 1

a)利用数学归纳法证明
f(y)= y+r,(此时n=0)
假定f(y-nr) = (y-nr)+r对n=k成立则
f(y-(k+1)r) = f(2(y-(k+1)r+r) - (y-kr+r)) = f(2(y-kr) -f(y-kr)) = y-kr = (y-(k+1)r ) +r 也成立
因此这对所有正整数成立
b)我们假设k是最大的一个不满足上式得负整数，则
f(y-(k+1)r) = (y-(k+1)r)+r成立
而f(y-kr) = f(2(y-(k+1)r) - (y-(k+1)r +r) ) = f(2(y-(k+1)r) -f(y-(k+1)r)) = y-(k+1)r = y-kr+r
如果k是最大的一个不满足这个条件的负整数，则f(y-kr)必然有两个值，与f是单射矛盾
因此b)必然成立