Question

sina+sinb=根号2 cosa+cosb=2根号3/3 求tana*tanb

快点！

Answer 1

为了表述清楚，将a、b置换成A、B
由 sinA+sinB=√2 可得：
(sinA+sinB)²=sin²A+sin²B+2sinAsinB=1-cos²A+1-cos²B+2sinAsinB=2
即：sinAsinB=(cos²A+cos²B)/2
那么：tanAtanB
=(sinAsinB)/(cosAcosB)
=[(cos²A+cos²B)/(cosAcosB)]/2
=(cosA/cosB+cosB/cosA)/2
令k=cosA/cosB，有tanAtanB=(k+1/k)/2，cosA=kcosB，sinA=±√(1-k²cos²B)

于是由 cosA+cosB=(k+1)cosB=2√3/3 可得：cos²B=4/[3(k+1)²]
所以：sinA=±√(1-k²cos²B)=±√{1-4k²/[3(k+1)²]}
sinB=√2-sinA=√2±√{1-4k²/[3(k+1)²]}
sin²B=2+1-4k²/[3(k+1)²]±2√2√{1-4k²/[3(k+1)²]}
那么：4/[3(k+1)²]+2+1-4k²/[3(k+1)²]±2√2√{1-4k²/[3(k+1)²]}=1
化简得：k+5=±√(-6k²+36k+18)
两边平方得：k²+10k+25=-6k²+36k+18
即：7(k²+1)=26k，即：k+1/k=26/7
所以：tanAtanB=(k+1/k)/2=13/7

Answer 2

这是一个技巧题。（sina+sinb）²=2=sin²a+sin²b+2sinasinb=1+2sinasinb→sinasinb=1/2①
（cosa+cosb）²=3/4=cos²a+cos²b+2cosacosb=1+2cosacosb→cosacosb=1/6②
①÷②得tana*tanb =3
给个建议：做三角的题目要多做些，掌握些经验，孰能生巧

追问

为什么sin^2a+sin^2b=1