Question

急！数列｛an｝的前n项和为Sn=2n²，｛bn｝为等比数列，且a1=b1，b2（a2－a1）=b1,(1.)求an和bn的通式

(2)设Cn=an／bn，求数列的前n项和Tn

Answer 1

（1）
a(1)=S(1)=2
a(n)=S(n)-S(n-1)=2n²-2(n-1)²=4n-2，n≥2，n∈Z
当n=1时，a(1)也满足a(1)=4×1-2=2
所以数列{a(n)}的通项公式是：a(n)=4n-2，n≥1，n∈Z

对等比数列{b(n)}，b(1)=a(1)=2，公比q=b(2)/b(1)=1/[a(2)-a(1)]=1/(4×2-2-2)=1/4
所以数列{b(n)}的通项公式是：b(n)=b(1)×q^(n-1)=2^(3-2n)，n≥1，n∈Z

（2）
对数列{C(n)}，其通项公式是：
C(n)=a(n)/b(n)=(4n-2)/2^(3-2n)=(2n-1)·4^(n-1)，n≥1，n∈Z

下面求数列{C(n)}的前n项和T(n)：
C(1)=1·4^0
C(2)=3·4^1
C(3)=5·4^2
C(4)=7·4^3
……
C(n-1)=(2n-3)·4^(n-2)
C(n)=(2n-1)·4^(n-1)
T(n)=1·4^0+3·4^1+5·4^2+7·4^3+……+(2n-1)·4^(n-1) ----------①
4T(n)=1·4^1+3·4^2+5·4^3+……+(2n-3)·4^(n-1)+(2n-1)·4^n ----------②
由②-①可得：
3T(n) = -1·4^0 -2·[4^1+4^2+4^3+……+4^(n-1)] + (2n-1)·4^n
= (2n-1)·4^n - 1 - 2·[(4^n-1)/(4-1)-1]
= [(6n-5)·4^n + 5]/3
所以：T(n)=[(6n-5)·4^n + 5]/9

Answer 2

an=Sn - S(n-1) = 2n^2 - 2(n-1)^2 = 4n-2 = 2(n-1)
a1=2，a2=6
b1=a1=2，b2 * (a2-a1) =b1
b2=b1/(a2-a1)=2/(6-2)=1/2
q=b2 /b1=1/2 /2=1/4
bn=b1 *q^(n-1)=2 * (1/4)^(n-1) = 2^(3-2n)
cn=an/bn=2(2n-1) / 2^(3-2n)=2(2n-1)*2^(2n-3)=(2n-1) * 2^2(n-1)
Tn = c1 + c2 + c3 + c4 +......+ cn
Tn =1 * 2^0 + 3 * 2^2 + 5 * 2^4 + 7 * 2^6 +......+ (2n-1) * 2^2(n-1)－－－－（1）
两边同时乘以 4
4Tn = 1 * 2^2 + 3 * 2^4 + 5 * 2^6 + 7 * 2^8 +......+ (2n-1) * 2^2n－－－－－（2）
（2）-（1）得
3Tn = (2n-1) * 2^2n -1 * 2^0 - 2 * 2^2 - 2 * 2^4 - 2 * 2^6 -......- 2 * 2^2(n-1)
=(2n-1) * 2^2n -1 - 2 [4^1 + 4^2 + 4^3 +......+ 4^(n-1)]
=(2n-1) * 4^n -1 - 2/3 * (4^n - 4)
=1/3 [ (6n-5) * 2^2n + 5]
Tn = 1/9 [ (6n-5) * 2^2n + 5 ]

Answer 3

an=2（2n-1），a1=b1=2，b2/b1=1/4，易得bn=2.（1/2）^2（n-1）=2^（3-2n）
Cn=（2n-1）.2^（2n-2）=2n.2^（2n-2） - 4^（n-1）=1/2.n.4^n - 4^（n-1），难点在求n.4^n的前N项和，En=1.4^1+2.4^2+3.4^3+...+（n-1）.4^（n-1）+n.4^n。。。。（1）
4.En= 1.4^2+2.4^3+3.4^4+...+（n-1）.4^n+n.4^（n+1）。。。（2）
（1）-（2）：-3En=1.4^1+4^2+4^3+...+4^n-n.4^（n+1）易解得En

Answer 4

n=1 a1=2
n>=2 an=sn-sn-1=2n^2-2(n-1)^2=2(2n-1)=4n-2
对n=1成立 an=4n-2
b1=2 由 b2（a2－a1）=b1 b2=1/2 q=1/4
bn=2*(1/4)^(n-1)

cn=(4n-2)/2 * 4^(n-1)=(2n-1)4^(n-1)
Tn=1+3*4+```+(2n-1)4^(n-1)
4Tn= 4+```+ (2n-3)4^(n-1)+(2n-1)4^n
减 -3Tn=1+2[4+4^2+```+4^(n-1)]-(2n-1)4^n
=1+2*4*(1-4^(n-1))/(1-4)-(2n-1)^n
Tn=(2/3n-5/9)4^n+5/9