Question

线代：若矩阵a和b等价，那么a的行向量组与b的行向量组等价，这对吗？为什么？

Answer 1

矩阵a,b等价<=>存在可逆矩阵p,q使得
paq=b
a的行向量组与b的行向量组等价<=>存在可逆矩阵p使得
pa=b
两者的区别是:
一个是用初等变换,行和列变换;
一个是只用初等行变换.
所以,
若a的行向量组与b的行向量组等价,
则矩阵a和b等价
(此时q=e).
但反之不对.

Answer 2

若矩阵A与矩阵B等价，那么矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价
以上命题不一定成立
因为矩阵A与矩阵B等价
即存在可逆矩阵P,Q，使得PAQ=B
所以PA=BQ^(-1)及P^(-1)B=AQ
不能说明PA=B或者P^(-1)B=A
所以矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价不一定成立
但反过来却一定成立
即：若矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价，则矩阵A与矩阵B等价
证明：
因为矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价
所以存在可逆矩阵P,Q，使得PA=B，QB=A
所以PAE=B，QBE=A（其中E为单位矩阵）
所以矩阵A与矩阵B等价