Question

函数f(x)=|x|sin(x-2)/x(x-1)(x-2)^2 在下列哪个区间内有界？A（-1,0）B（0,1）C(1,2)D(2,3)

Answer 1

当x从大于1的方向趋于1时，分母趋于0+，分子趋于－sin1，极限是负无穷。
当x从小于1的方向趋于1时，分母趋于0－，分子趋于－sin1，极限是正无穷。
总之，在1的邻域f(x)是无界的。
当x趋于2时，sin(x－2)等价于x－2，因此表达式等价于2/2*1*(x－1)=1/(x－1)，无界。
当x趋于0时，|x|/x是有界的，sin(x－2)/(x－1)(x－2)^2趋于sin2/4，因此在0的邻域有界。
选A。

Answer 2

由f（x）的表达式，可以看出只有x=0，1，2是它的不连续点
（1）选项a，
lim
x→?1+
f(x)＝
sin(?1?2)
?1?(?2)?(?1?2)2
＝
?sin3
18
lim
x→0?
f(x)＝
lim
x→0?
?xsin(x?2)
x(x?1)(x?2)2
＝?
sin2
4
因此，f（x）在x=-1处有右极限，在x=0处有左极限，而f（x）在（-1，0）的内点是连续的
∴f（x）在（-1，0）有界的
故选项a正确
（2）选项b
由于
lim
x→1?
f(x)＝
lim
x→1?
xsin(x?2)
x(x?1)(x?2)2
＝∞
因而f（x）在（0，1）无界
故选项b错误
（3）选项c
由于
lim
x→1+
f(x)＝∞，
lim
x→2?
f(x)＝∞
因而f（x）在（1，2）无界
故选项c错误
（4）选项d
由于
lim
x→2+
f(x)＝∞
因而f（x）在（2，3）无界
故选项d错误
故选：a