Question

数学好的，请用抽屉原理解答下列各题。

1.证明从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。
2.证明：在任取得5个自然数中，必有3个数，它们的和是3的倍数。
3.某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候，请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两个人握手的次数一样多。
拜托了，请在十分钟之类有正确答案

Answer 1

1、抽屉是个位数只有10个（含0），所以11个的话，必有一个两位数。
2、剩余类的概念懂吗？以3为除数，根据余数，必然是余1、余2和余0这3类，这就是抽屉。如果3个数来自3类，必然是3的倍数，如果来其他两类的组合，也是3的倍数（你可自己验证）。
3、证明稍繁，这里就不写了。可以追问。

追问

第三题拜托了，一定要说，谢谢！

追答

简单点说吧。
假设n个人都相互认识，那么总的握手次数是(n-1)次，每个人也握了(n-1)次。（这个懂吗？可以考虑体育比赛的单循环赛的总比赛场数）这就是抽屉了。n个人，握了n-1次手，必有2人握手的次数是相等的。如果不全部认识的话，则握手的次数就小于n-1，结果就更清楚了，说不定还有更多的人握手次数相同。

Answer 2

1.在1-20中有8个2 3 5 7 11 13 17 19八个质数，假设有8个抽屉分别存放有上述8个质数中的任意1个，无论我们在另外的12个数任取1个，必然与上述8个中的其中1个是倍数关系。事实上，此题不够严密（不用取11个，9个就足够）。
2.任何一个自然数除以3的余数都不外乎以下三种情况：余数是0、1或2。现在我们有5个数，如果它们除以3的余数相同，不用说其中的任意三个的和是3的倍数；如果它们其中的4个余数相同，相同余数的4个中任意3个的和是3的倍数；如果它们中有三个余数相同，这三个的和是3的倍数。如果它们中只有两个的余数相同，那么它们的存在情况是：三个抽屉中有两个抽屉里边有两个数，一个抽屉里边有1个数。在时三个抽屉里边都有数，各取一个数得3个，这三个数的和是3的倍数。
3.假设在n位校友彼此都不认识，也就是没有人握手。这时，n位校友中握手的次数一样多的人有n位（前提n必须大于2）。如果只有2人认识，显然握手的就是相互认识的2人，他们无论握手多少次，但是两人握手的次数肯定一样多。如果有3人认识，要么三人相互握手，则3大于2;要么其中的一人分别与另外两个人握，这种情况另外两人握手的次数一样多；如果3人相互握手，则三人一样多;……依此类推

Answer 3

3. 握手次数只可能是 0,1,2...n-1 之一 且若有人握了0次，则不可能有人握了n-1次
所以总共有n-1个抽屉 n个人，必有两个在一个抽屉（握了一样次数）