Question

帮忙解一下这个题 ：已知△ABC的内角A，及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.谢谢啦！

Answer 1

由正弦定理可得：a=2RsinA,
b=2RsinB，

所以
acotA=2RsinA·cosA/sinA=2RcosA， b
cotB=2RsinB·cosB/sinB=2RcosB，

代入已知等式化简得
sinA+sinB=cosA+cosB，

即
sinA-cosA=cosB-sinB，

进而得
根号2(cos45度sinA-sin45度cosA)=根号2(sin45度cosB-cos45度sinB)，

于是得
sin(A-45度)=sin(45度-B)，

所以
A-45度=45度-B
或
A-45度+45度-B=180度，

分别得
A+B=90度
或
A-B=180度(不合题意，舍去)，

故
C=180度-(A+B)=180度-90度=90度.

Answer 2

用正弦公式可得:a=2RsinA,
b=2RsinB,且cotA=cosA/sinA,
cotB=cosB/sinB

将这些代入式子,化简整理可得:2RsinAsinB[(sinA-cosA)-(sinB-cosB)]=0

所以有sinA-cosA=sinB-cosB

所以sin(A-π/4)=sin(B-π/4)

所以A=B

或(A-π/4)+(B-π/4)=π,即A+B=3π/2
(不符,舍去)

所以C=π-[A+B]=π-2A